1.1.1　离散时间信号

1．序列

对模拟信号x(t)进行等间隔时域采样，如果采样间隔为T，则该离散时间信号在模拟时间系统中表示为x(nT)，而在离散时间系统中表示为序列x(n)，其中，序号n为整型变量，第n项的序列值x(n)表示信号的第n个样值（采样值），它是连续数值（模拟量）。例如，某离散时间信号表示为

离散时间信号用序列表示，但序列不一定代表时间序列，也可以表示频域、相关域等其他域上的一组有序数，如离散傅里叶变换序列X(k)、自相关函数序列R(m)等。

下面先介绍几种常用的典型序列。

（1）单位脉冲序列δ(n)

该序列只在n=0处有一个单位值1，其余点上的序列值皆为0，因此也称为“单位采样序列”，如图1.1所示。该序列与模拟信号中的单位冲激信号δ(t)类似。但是，δ(t)是一种数学的极限，并不是现实的信号，其脉宽为0，在t=0处的幅度为∞，只是其积分为1。而δ(n)却是一个现实的序列，它的脉冲幅度是1，是一个有限值。

（2）单位阶跃序列u(n)

该序列类似于模拟信号中的单位阶跃信号u(t)，但是u(n)在n=0处有确定的取值u(0)=1，如图1.2所示。

（3）矩形序列RN(n)

该序列从n=0开始，含有N个幅度为1的数值，其余项都为0，序列的包络是一个矩形，如图1.3所示。不难看出，以上3种序列间有以下关系：

（4）实指数序列

即

式中a为实数：当|a|>1时序列发散；当|a|<1时序列收敛；当a为负数时，序列值正负摆动，如图1.4所示。

（5）复指数序列

其指数是复数（或纯虚数），在直角坐标系中可写成

在极坐标系中可写成

这里，模|x(n)|=eσn，辐角arg[x(n)]=ω0n。

（6）正弦序列

式（1.1.1）中，幅值A、初相角φ的含义与模拟正弦信号相同，ω0是正弦序列的数字角频率，它与模拟正弦信号的角频率是不同的概念。模拟正弦信号的角频率单位是rad/s，此处ω0的单位是rad，表示相邻两个样值间弧度的变化量。正弦序列如图1.5所示。

对模拟正弦信号进行采样可以得到正弦序列。例如，模拟正弦信号为

它的采样值为

将上式与式（1.1.1）对照，可见

式（1.1.2）表明，数字角频率ω0是模拟角频率Ω0对采样频率fs取归一化的值。本书中一律用ω表示数字角频率，用Ω表示模拟角频率。

需要指出的是，模拟周期信号的采样不一定是周期序列。一个正弦序列是周期序列必须满足条件

即满足ω0rN=2kπ或，式中k、r和N都是整数，所以是有理数。也就是说，当为有理数时，正弦序列才可能是周期序列。

（7）任意序列的单位脉冲表示

最后，讨论一种任意序列的单位脉冲表示，这种表示对分析线性系统很有用。设某序列x(n)如图1.6所示，则该序列可以表示为

即表示为单位脉冲序列的移位加权和，权值就是序列在相应位置的序列值。不失一般性，用x(m)表示序号为m时的序列值，则序列x(n)可以表示为

2．序列的运算

在数字信号处理中，对信号的处理是通过序列之间的运算完成的。接下来，对处理中经常涉及的运算做简要介绍。

（1）序列的相加与相乘

序列x1(n)、x2(n)相加，是将它们的各个对应项分别相加，表示为

序列x1(n)、x2(n)相乘，是将它们的各个对应项分别相乘，表示为

序列与常数C相乘，是将序列的各项分别乘以常数C，表示为

（2）序列的移位

如果

那么，y(n)是整个x(n)在时间轴上右移m个采样周期所得的新序列。如果

那么，y(n)是整个x(n)在时间轴上左移m个采样周期所得的新序列。

（3）序列的线性卷积

序列x(n)、y(n)的线性卷积定义为

如果序列x(n)、y(n)的长度分别为M、N，则式（1.1.4）中x(m)的非零区间为

y(n-m)的非零区间为

w(n)的非零区间应是使x(m)和y(n-m)同时不为0的n的取值范围，也就是使上面两式同时成立的n，应为

即长度为M+N-1。显然，如果两序列中有一个是无限长序列，则卷积结果就是无限长序列。

根据线性卷积的定义式（1.1.4）可以看出，式（1.1.3）表示的是线性卷积运算，即

也就是说，任意序列与单位脉冲序列的线性卷积等于序列本身。该结论在后续章节会经常用到。

线性卷积运算具有交换律和结合律，即

按照线性卷积的定义式（1.1.4），线性卷积的运算分四个步骤：翻褶、移位、相乘、相加。

例1.1.1　已知序列

求：w(n)=x(n)*y(n)。

解：

可以将运算过程表示如下。

其中，y(-m)是将y(m)以m=0为轴翻转，称为翻褶；y(1-m)是将y(-m)向右平移1位，y(2-m)是将y(1-m)再向右平移1位，以此类推。例1.1.1中两序列长度都是3，卷积后总长度应是L=3+3-1=5，0≤n≤4。从表格中可以看出，从w(5)开始，卷积结果总是为0。所以两序列的线性卷积为

或表示为