1.2　随机信号基础

1.2.1　随机过程及其特征描述

1．随机过程

随机过程通常用X(ξ,t)表示，可以看成是两个自变量ξ∈Ω和t∈T的一个二元函数，其中，Ω是随机过程X(ξ,t)的样本空间，T是参数t的集合。随机过程X(ξ,t)可以用两种方式描述。

（1）从时间的角度，表示成随机变量族{X(ξ,ti),ti∈T}，对任何固定的ti∈T，X(ξ,ti)是随机变量。

（2）从分布的角度，表示成T上的一个函数集{X(ξi,t),ξi∈Ω}，对任何固定的ξi∈Ω，X(ξi,t)是一个样本函数，或称为过程的一个实现。

例如，一对正在通话的电话线，在每一时刻电话线上的话音电压都是不确定的，对任何固定的ti∈T，电压幅度V(ti)都是随机变量，它所有可能的取值的集合构成随机变量的样本空间，每一次测得的电压的具体值，是随机变量的一个样本。如果记录一段时间内的电压幅度，因为每个时间观测点上的电压幅度都是随机变量，所以整个时间段上电压的变化曲线也是随机曲线，{V(t),t∈[0,∞)}是随机过程。这些曲线的采样是对应的随机序列。实测到的曲线或序列被称作随机过程的样本，所有可能的曲线的集合构成随机过程的样本空间，如图1.18所示，点A1、B1、C1分别是随机变量V(t1)的样本，曲线a、b、c分别是随机过程V(t)的样本。

此例中，分别用V(t1)和V(t)表示随机变量和随机过程。实际上，为书写方便，常将随机过程的自变量ξ略去，将随机过程X(ξ,t)记作X(t)，将随机过程的样本函数记作x(t)，将样本函数的采样值构成的随机序列记作x(n)，将随机变量记作X(ti)或X。

2．随机过程的n维分布函数

设{X(t),t∈T}是随机过程，对于任意的正整数n及任意的t1,t2,…,tn∈T，随机变量X(t1),X(t2),…,X(tn)的联合分布函数为

n维分布函数不仅反映了对应于每一个t的随机变量的统计规律性，而且也反映了各个随机变量之间的关系，从而完整地描述了随机过程的统计规律性。

如果存在某个函数p，使

则称p为随机过程X(t)的n维概率密度函数或分布密度函数。

实际中，随机过程的n维分布函数往往很难获得，需要对大量的取样数据进行统计分析。用得较多的是随机过程的数字特征。

3．随机过程的数字特征

随机过程的数字特征也就是随机过程的矩，包括各阶原点矩和各阶中心矩。对于实随机过程，各阶原点矩是指与原点差值各次方的均值，各阶中心矩是指与均值差值各次方的均值。

设｛X(t),t∈T｝为实随机过程，其主要数字特征如下。

（1）均值函数（数学期望）

均值函数是一阶原点矩，它是全部样本在同一时刻取值的平均。

（2）均方函数

均方函数是二阶原点矩。

（3）方差函数

方差函数是二阶中心矩，它反映了与均值的偏离程度。方差函数可以用均值函数和均方函数表示，根据上式有

即

（4）自相关函数和自协方差函数

自相关函数是二阶联合原点矩，自协方差函数是二阶联合中心矩。它们反映了同一随机信号在不同时刻取值的关联程度。

（5）互相关函数和互协方差函数

它们反映了两个随机信号在不同时刻取值的关联程度。

如果随机过程的相关函数RXY(t1,t2)=0，则称X(t)与Y(t)为正交过程；如果随机过程的协方差函数CXY(t1,t2)=0，则称X(t)与Y(t)互不相关。

对于随机序列p(n)和q(n)，如果满足E[p(n)·q(n)]=0，则称p(n)与q(n)正交。

4．平稳随机过程

（1）严平稳过程——从n维概率分布函数出发

设{X(t),t∈T}是一个随机过程，如果对于任意的τ∈T，过程X(t+τ)与X(t)（t∈T）有相同的分布，即

对一切有限集{ti}∈T和任意τ∈T都成立，则称X(t)为严平稳过程（狭义平稳过程或强平稳过程）。

严平稳过程描述的物理系统，其任意的有限维分布不随时间改变。注意，只是分布不随时间变化，并不涉及服从什么分布。

（2）宽平稳过程——只考虑一阶矩和二阶矩

设{X(t),t∈T}是一个随机过程，如果

①X(t),t∈T为二阶矩过程，即

②mX(t)=常数，且相关函数只与时间间隔有关，而与起点无关，即

则称X(t)为宽平稳过程（广义平稳过程或弱平稳过程），简称平稳过程。

宽平稳过程不一定是严平稳过程；反过来，严平稳过程也不一定是宽平稳过程，因为宽平稳过程必须是二阶矩过程。

在有些情况下，一个非平稳随机过程可以看作短时广义平稳随机过程。例如，语音信号是非平稳的，但通常在10～30ms之内保持相对平稳，所以语音信号是分段处理的，每一段称为一“帧”（借用影视术语，其原意为单幅静态画面），帧长一般取10～30ms。一帧内的语音信号被认为是广义平稳的，这样便于分析和处理。

（3）各态历经性

前面讨论的平均是统计平均，即当样本数趋于无穷时的集合平均。所谓集合平均，是指各个样本函数在某一时刻的平均。因此，集合平均通常也指统计平均。

下面引入时间平均的定义。所谓时间平均，是指某一样本函数在不同时刻的平均。时间平均取适用于随机过程的完整时间范围，并假定样本函数在任一时刻存在。

用At[·]表示时间平均，则

如果随机过程任一样本函数的时间平均等于过程的集合平均，则称随机过程是各态历经的或各态遍历的。具体来说，如果有

则称X(t)为均值各态历经随机过程；如果有

则称X(t)为自相关各态历经随机过程。

可见，对于各态历经随机过程，可以用一个样本函数的时间平均计算随机过程的集合平均。这一点为统计的工程实现带来了很大方便，因为对一个样本过程进行长时间统计比同时对许多样本进行统计要容易实现。如果不做说明，下面的讨论都针对广义平稳和各态历经的随机过程。例如，通信中常用的高斯白噪声，是平稳各态历经的。

在实际处理信号时，对已获得的一个物理信号，往往先假设它是平稳的，再假设它是各态历经的。按此假设对信号进行处理后，再用处理结果来检验所做假设的正确性。

各态历经的随机过程一定是平稳随机过程。对于各态历经的平稳随机过程X(t)，其均值、均方值和方差都是常数，分别表示为mx、和，并且有

其自相关函数和自协方差函数只与时间间隔有关，与起点无关，通常表示为Rx(τ)和Cx(τ)，有

对各态历经的平稳随机序列{x(n)}，上面两式成为

可以看出，自协方差函数Cx(m)与自相关函数Rx(m)只相差一个常数。如果事先对随机序列进行了去除均值的预处理，则自协方差函数Cx(m)与自相关函数Rx(m)相等。事实上，一般都会在预处理中去除均值。

5．高斯过程

设{X(t),t∈T}是随机过程，若对任意的正整数n及任意的t1,t2,…,tn∈T，(X(t1),X(t2),…,X(tn))是n维高斯随机变量，即服从高斯分布（正态分布），则称{X(t),t∈T}是高斯过程（正态过程）。

高斯过程具有以下性质。

①高斯过程是二阶矩过程。

②由高斯过程的一阶矩和二阶矩即可确定其有限维分布。

③对于高斯过程，严平稳与宽平稳是一致的。

对于高斯过程，知道均值和方差时就可以导出任意阶次的概率密度函数。而对于非高斯过程，知道均值和方差不能为较高阶矩提供完全的信息，更不用说概率密度函数了。

在实际中，为了解决问题，获得对原有问题的接近最佳且又切实可行的解，人们总是要引入一些假设，将问题转化为适合应用条件的形式。但这些假设必须是依据统计数据的合理假设。在实际问题尤其是电信问题中，许多随机变量服从或近似服从高斯分布，再加上高斯分布具有一系列良好的分析特性，所以，高斯过程应用极其广泛，在现代随机过程理论和应用中具有十分重要的意义。