1.1.4　系统的因果性和稳定性

从概念上说，如果系统的输出只取决于此时以及此时以前的输入，而与以后的输入无关，则此系统是因果系统。如果系统在有限激励下的响应是有限值，则此系统是稳定系统。对于线性移不变离散时间系统，可以用系统的单位脉冲响应h(n)及其Z变换H(z)的收敛域来判断系统的因果性、稳定性。表1.2给出了从时域和Z域判断系统因果性和稳定性的充要条件。

因果系统的时域条件和Z域条件都很容易理解。根据线性卷积公式（1.1.8），有

当m≥0时，x(n-m)表示此时以及此时以前的输入；当m<0时，x(n-m)表示此时以后的输入。要使此时的输出y(n)与此时以后的输入无关，单位脉冲响应h(n)必须满足表1.2中的条件，即h(n)为因果序列。对因果序列h(n)，其Z变换H(z)的收敛域包含∞点。

稳定系统的Z域条件较容易理解。根据式（1.1.12），H(z)的收敛域应满足

表1.2中的时域条件说明式（1.1.15）对|z|-n=1成立，即收敛域包括单位圆。

下面证明稳定系统的时域条件为充分必要条件。稳定系统的时域条件为

先证明该条件为必要条件。如果h(n)不符合式（1.1.16），即

那么当一个有界的输入为时，输出y(n)在n=0时的值就是

即y(0)是无界的。所以式（1.1.16）是稳定系统的必要条件。

再证明该条件为充分条件。系统的输出为

假定输入x(n)的界为M，即

将其代入式（1.1.17），有

即只要满足式（1.1.16）的条件，就可以保证系统在有限激励下的响应是有限值，从而保证系统是稳定的。

显然，既满足稳定条件又满足因果条件的系统不仅可以稳定工作而且是物理可实现的，所以因果稳定系统是一切数字系统设计的目标。从表1.2可以看出，因果稳定系统的收敛域不仅包括∞点而且包括单位圆。由于收敛域内没有极点，因此因果稳定系统的所有极点都在单位圆以内。

差分方程、单位脉冲响应和系统函数从三个角度描述了线性移不变离散时间系统，三者可在一定的约束条件下互相转换。单位脉冲响应和差分方程可用于系统的瞬态分析，系统函数则用来进行稳态分析。

例1.1.4　某稳定系统，系统函数是，a≠0，试判断系统的因果性。

解：可以通过分析H(z)的收敛域来判断系统的因果性。判断的依据有以下两点。

①因为是稳定系统，所以H(z)的收敛域包含单位圆。

②H(z)只有一个极点z=a，收敛域应在以|a|为半径的圆内或圆外。

下面分三种情况讨论。

①当|a|>1时，H(z)的极点在单位圆外。为使收敛域包含单位圆，H(z)的收敛域应在以|a|为半径的圆内，即h(n)是左边序列，这时系统是非因果的。

②当|a|<1时，H(z)的极点在单位圆内。为使收敛域包含单位圆，H(z)的收敛域应在以|a|为半径的圆外，即h(n)是右边序列。又为有限值，所以H(z)的收敛域为

这时系统是因果的。

③因为是稳定系统，所以极点z=a一般不会在单位圆上，即|a|≠1。但对有一个例外，那就是a=1。此时，零、极点对消，H(z)=1，系统函数在整个z平面都收敛，系统是因果的。

由例1.1.4可以看出，仅凭系统函数并不能唯一确定一个系统，收敛域不同，对应的系统也不同。