1.1.6 谐波

由于功率半导体器件的高速导通与截止，电力电子电路能产生非正弦波电流或电压，这种畸变信号能够发生周期性变化。采用傅里叶（Fourier）分析方法，在数学上任何重复的波形都可以用傅里叶级数来表达。

如果一个周期T＞0的非正弦信号以函数y（x）表示，则它的傅里叶级数为

式中，ω=2πf，。

式中，A₀为非正弦函数的平均值，表示非正弦波形的直流成分。具有频率为ω的成分A₁sin（ωx+φ₁）称为非正弦波形的基波。具有频率为基波频率整数（＞1）倍的成分称为非正弦波形的谐波，比如2次谐波、3次谐波、4次谐波、5次谐波、6次谐波、7次谐波等。

如果周期函数y（x）满足狄利克雷（Dirichlet）充分条件，那么它的傅里叶级数收敛，也就是函数y（x）在（-∞，+∞）上等价于傅里叶级数展开形式。这样，该函数的有效值Y_rms为

函数的谐波总有效值Y_hrms为

采用总畸变率THD（total harmonic distortion）来表征非正弦函数的谐波含量，THD定义为谐波的有效值与基波的有效值的百分比。

图1.13显示了一个生成三角波电路的简单PSIM模型，它包括一个幅值10A、频率50Hz的方波电流源ISQU1，电阻R₁=1Ω和电容C₁=3300μF。C1的初始电压为-15V。仿真控制的步长和时长分别为10μs和0.1s，模型运行结果有电阻电流和电容电压曲线，如图1.14所示。电容的端电压是对方波电流的积分，产生了一个50Hz的等腰三角电压波形。在Simview界面中，选择菜单Analysis→THD，在弹出的THD框中设置Fundamental Frequency=50。这样，计算图1.14所示的方波和三角波的THD值，它们分别等于48.34%和12.25%。等腰三角波比方波更接近于相同频率的正弦波，因此三角波的THD小得多。如遇到THD计算的点数不够的错误信息时，应减小仿真步长；比如步长0.1μs不满足波形的THD计算，将其扩展为0.01μs即可。

当一个周期函数y（x）的傅里叶级数收敛时，运用欧拉（Euler）公式代入其傅里叶级数展开式（1.9），能够得到傅里叶级数的复数形式。

运用式（1.15）求解ω的微元形式，当T→∞时，可以得到傅里叶变换及其逆变换。

在一个周期内，y（x）包含基波、2次谐波、3次谐波……N次谐波，式（1.16）和式（1.17）可写成离散傅里叶变换DFT（discrete Fourier transform）及其逆变换。

在DFT运算中，包含大量的可重复的乘法运算。为了开发适合计算机的低运算量的DFT算法，1965年Cooley和Tukey运用式（1.20）的周期性和对称性，提出了快速傅里叶变换算法FFT（fast Fourier transform）。FFT是最经典的数字信号处理算法之一，在信息传输、频谱分析、图像处理和数据压缩等领域广泛应用，被集成在各种数学软件中。

在PSIM软件的Simview界面中，顺序单击菜单Analysis→Perform FFT，能够显示时域曲线的频谱。针对图1.14所示的50Hz方波电流和等腰三角波电压的时域信号，使用FFT运算生成在Simview界面中显示的频谱曲线，如图1.15所示。方波和三角波有相同的基波和谐波频率，两个基波的幅值分别约为13A和12V。但是，图示的三角波比方波的谐波幅值小得多，这也能说明三角波比方波有更小的THD。另外，PSIM软件也集成了FFT的控制功能函数，可选择Element→Control→Other Function Blocks→FFT实现。该FFT模块的输入为时域信号，设置的参数包括信号的采样点数（no.of samples）和基波频率（fundamental freq.），输出为基波的幅值和相位。