1.2.4　子空间

在1.2.1节提到了一个概念：加法和数量乘法封闭。当时是以二维空间中的向量加法、数量乘法为例进行说明的，并且用向量的叉积做了对比。本节将要从更一般化的角度对此进行阐述。

我们已经知道，任何维度的空间中都包含了无穷个向量，在线性代数中，通常将这些向量视为一个集合，用表示，即空间的维度（仅考虑实数域）。

假设是中的一个向量组，是实数，那么可以得到这样的一个集合：

由于，因此是的非空子集。

从集合中任取两个元素：，则：

于是，我们称符合加法封闭。还有：

也称符合数量乘法封闭。

所以符合加法和数量乘法封闭，并且它是由向量组生成（或张成）的，于是称为的一个线性子空间（Linear Subspace），简称子空间。

例如，在三维向量空间中有两个向量和，如图1-2-6所示，由这两个向量决定的平面记作。显然，任何一个线性组合都位于内，且符合加法和数量乘法封闭，则是由向量和生成的的子空间。

在几何空间（关于几何空间，请参阅1.4.2节）中，过原点O的平面、直线都是几何空间的子空间。但是，不过O点的平面和直线，不是子空间。

为了进一步理解子空间的概念，再把前面求解过的线性方程组（1.2.1）式列出来：

方程组的解：

其中是自由变量。令，可以将这个解写成中的向量：

继续完成如下计算（以下计算过程中的都是实数）：

加法：

数量乘法：

因此我们可以说，向量生成了的子空间。

通常把像（1.2.1）式那样的方程组（等号右侧都是0），称为齐次线性方程组（参阅第2章2.4.2节线性方程组），齐次线性方程组的解都是子空间。