1.3 克莱姆（Cramer）法则

本章第一节引入了利用二阶和三阶行列式求解二元、三元线性方程组的克莱姆法则．本节将利用n阶行列式的性质，给出求解n个未知量、n个方程的线性方程组的克莱姆法则．

设n个未知量、n个方程的线性方程组为

其系数行列式

下面讨论方程组（1.3.1）的求解问题．

为消去方程组（1.3.1）中的x2，x3，…，xn解出x1，用D的第一列元素的代数余子式A11，A21，…，An1分别乘以方程组（1.3.1）的第1，第2，…，第n个方程，得

再将上面n个方程的左右两端分别相加，由式（1.2.5），有

即　．

同理可用D的第j（j=2，3，…，n）列元素的代数余子式A1j，A2j，…，Anj依次乘方程（1.3.1）的每一个方程，得

记行列式

Dj是把系数行列式D的第j（j=1，2，3，…，n）列换为方程组（1.3.1）的常数列b1，b2，…，bn所得到的行列式．显然，当D≠0时，方程组（1.3.1）有唯一解

定理1.3.1（克莱姆（Cramer）法则）含有n个未知量、n个方程的线性方程组（1.3.1），当其系数行列式D≠0时，有且仅有一个解

其中，Dj是把系数行列式D的第j列换为方程组的常数列b1，b2，…，bn所得到的n阶行列式（j=1，2，3，…，n）．

例1.3.1　解线性方程组

解　方程组的系数行列式

故方程组有唯一解．而

所以方程组的解为

如果方程组（1.3.1）的常数项全都为零，即

方程组（1.3.4）称为齐次线性方程组．而方程组（1.3.1）称为非齐次线性方程组．

方程组（1.3.4）的系数行列式D≠0时，显然，x1=x2=…=xn=0一定是齐次线性方程组的解，并且是唯一的一组零解．因此，若方程组（1.3.4）具有非零解，必须D=0，即有如下定理：

定理1.3.2　含有n个未知量、n个方程的齐次线性方程组（1.3.4）若有非零解，则它的系数行列式D=0．

该定理说明系数行列式D=0是齐次线性方程组（1.3.4）有非零解的必要条件．在第四章中还将证明D=0是齐次线性方程组（1.3.4）有非零解的充分条件．

例1.3.2　问当λ为何值时，齐次线性方程组

只有零解？

解　方程组的系数行列式

当λ≠0，λ≠±1时，方程组只有零解．

克莱姆法则只能在D≠0时应用．D=0的情况将在第四章讨论．

习题1-3

1. 用克莱姆法则求解下列线性方程组．