命题II.6

若一条线段被平分，在其尾端再增加一条线段，那么总线段与增加线段所构成的矩形的面积与原线段一半上的正方形的面积之和，等于原线段一半加上增加线所构成的正方形的面积。

设：线段AB被C点平分，BD是附加的线段。

求证：AD、DB为边构成的矩形的面积加上CB为边构成的正方形的面积等于CD为边构成的正方形的面积。

令：以CD为边作正方形CΕFD（命题I.46）。

连接DΕ，过B点作BG使之平行于ΕC或者DF。

过H点作KM使之平行于AB或ΕF，再通过A点作AK使之平行于CL或DM（命题I.31），那么：既然AC等于CB，矩形AKLC也就等于矩形CLHB（命题I.36）；

而矩形CLHB等于HGFM（命题I.43），所以：矩形AKLC也等于矩形HGFM。

令CM加在各边，于是，整个AM等于折尺形NOP。又因为：DM等于DB，因此AM是以AD、DB为边构成的矩形。

所以：折尺形NOP也等于AD、DB构成的矩形。

令：BC为边的正方形LΕGH与每个相加加在以上各边。

那么：以AD、DB构成的矩形加CB上的正方形等于折尺形NOP加LG。

又，折尺形NOP加上LΕGH又是CD上的正方形CΕFD；

所以AD、DB构成的矩形加CB线为边的正方形等于以CD为边的正方形。

所以：若一条线段被平分，在其尾端再增加一条线段，那么总线段与增加线段所构成的矩形的面积与原线段一半上的正方形的面积，等于原线段一半加上增加线所构成的正方形的面积。

证完