2.3 高副机构的运动分析
2.3.1 用高副低代法求解
由于一个平面运动高副有一个约束条件，而一个具有两个平面运动低副的构件也具有一个约束条件，因而可将高副机构用瞬时运动特性相当的低副机构来代替，然后按2.2节中的矢量图解法或解析法来分析。代换的方法如下：
①求出高副接触处P点的两个曲率中心B、C和两个曲率半径ρ1、ρ2，ρ1=BP，ρ2=CP（图4-1-6a）；
图4-1-6
②以杆长为LBC=ρ1＋ρ2的杆用两个回转副在B、C处与杆1、3相拼接，得到低副机构ABCD。当ρ2（或ρ1）为无穷大时，则一个回转副变为移动副（图4-1-6c、d）；当ρ2（或ρ1）为零，则一个回转副即在高副接触处（图4-1-6b）。由于一般高副机构中高副接触处的曲率半径是随机构位置的变化而变化的，所以在不同瞬时的相当低副机构的构件尺寸是不同的，应予注意。
2.3.2 用高副机构直接求解
平面高副机构的运动分析也可用2.2.2中的封闭构件矢量法，对三构件单自由度平面高副机构，可写出图4-1-7所示的a、b、c三种模型，图a是两个运动构件以转动副与机架连接的，图b是运动构件1、2分别以转动副和移动副与机架连接的，图c是构件1、2均以移动副与机架连接。在接触点可写出它们的封闭构件矢量方程为：
图4-1-7
图a、d、e： R1（u）=R2（v）＋a （4-1-4a）
图b、f： R1（u）=S＋e＋R2（v） （4-1-4b）
图c： S1＋R1（u）=S2＋e＋R2（v） （4-1-4c）
式中 R1（u）、R2（v）——构件矢量；
a——机架构件矢量（中心距）；
S、e——表达运动副相对位置的定向非构件矢量；
u、v——参变量。
与低副构件不同，高副构件的接触点是时变的，因而需要在运动构件上设置一个与构件固连的坐标系以代表高副构件运动转角φ的计量准线。但是高副元素的接触点在此坐标系中的位置也是时变的，它用参数u、v来表达动点在动坐标系中的相对运动。构件的运动则用转角φ或位移S来表达牵连运动。根据以上分析，按式（4-1-4）利用坐标变换方法，可写成图4-1-7所示三种模型的投影标量表达式：
图4-1-7d，e： 
（4-1-5a）
图4-1-7f： 
（4-1-5b）
图4-1-7c： 
（4-1-5c）
式中 x、y；x1、y1；x2、y2——分别表示接触点M在机架坐标系和与运动构件固连的动坐标系中的坐标。φ角的度量方向与构件的转动方向相反，按右手法则确定其正、负号；ω1与ω2方向相同时，φ1与φ2同号，ω1与ω2方向相反时，φ1与φ2异号。
式（4-1-5）只给出了联系四个未知变量u、v，φ1、φ2的两个标量方程，因而是不可解的。为此，根据高副约束的特点，在接触点两高副元素的公切矢、公法矢应分别相等，且两者间的相对运动速度垂直于公法矢，因而可以补充一个约束方程，即
（4-1-6）
式中 nx、ny；nx1、ny1；nx2、ny2——高副元素接触点的公法矢分别在固定坐标系与动坐标系1和2中沿x、y方向的分量。对平面曲线有：nx1=∂y1（u）/∂u、ny1=-∂x1（u）/∂u；nx2=∂y2（v）/∂v、ny2=-∂x2（v）/∂v。
式（4-1-5）和式（4-1-6）共给出了三个标量方程，联系着u、v、φ1和φ2四个未知量，对单自由度机构通常φ1（或S1）是自变量，因而给定一个φ1值便可求得相应的φ2、u、v值和φ2=φ2（φ1）的转角关系。通常联系着u、v，φ1、φ2的三个纯量超越方程式，不易写出显式表达式，宜用数值计算法求解。通常由式（4-1-6）可以得到v=f（u，φ2±φ1）的关系，将此关系代入式（4-1-5）所给出的两个投影方程式，它是φ1、φ∗=φ2±φ1、u及定长参数的两个纯量方程，给定φ1便可求得u及φ∗（或φ2）。如定义
、dφ2/dφ1=i21，dφi/dt=ωi。以v=f（u，φ2±φ1）代入式（4-1-5）的两个投影式后，将其对φ1求导数，可以得到u′及i21；如对t求导数，则可得到ω2=dφ2/dt=fω（φ1、ω1、u′）的表达式。将v=f（u，φ2±φ1）代入式（4-1-5）所得的两个投影式分别对φ1，t求二阶导数可分别得到
、u″及
（φ1，ε1，u′，u″）的表达式。i21及
是类速度和类加速度，它们并不一定等于ω2/ω1及ε2/ε1。高副机构中构件的廓线通常是由几段曲线组成的，例如凸轮机构中凸轮廓线由停-推-停-回-停四段曲线组成，而瞬心线机构的构件廓线通常也是几段曲线组成的封闭或不封闭曲线，齿轮的廓线则是1～2段曲线组成的呈周期性排列的曲线，分析时并不需要分析整条曲线。为了说明方法如何应用，现举例如下。
例 齿廓分别为外摆线和圆的齿轮1和2，各自绕固定中心O1、O2转动，中心距为a，在初始位置二者相切于点P（图4-1-8），已知轮1的角速度为ω1，角加速度为ε1，试求轮2的ω2和ε2。
图4-1-8
解：如令u、v分别表示轮1、2的变量参数，rb、r1表示轮1的基圆半径和滚圆半径，且有r=r1＋rb、
，
、
为动坐标系x1O1y1的单位矢量，R1（u）和n1（u）分别为轮1上点在自身坐标系中的径矢和公法矢。r2为轮2齿形圆的半径（常数），R2（v）和n2（v）分别为轮2齿形上点在其自身坐标系中的径矢和公法矢。
、
为动坐标系x2O2y2的单位矢量。则可写出轮1和轮2的齿形曲线C1、C2及公法矢方程分别为：
（a）
（b）
（c）
（d）
将C1、C2及公法矢利用坐标变换式（4-1-5a）及式（4-1-6）变换到固定坐标系xOy中，由于C1、C2上两点接触时在xOy中处于同一点并具有相同法矢，于是有：
x分量： 
（e）
y分量： 
（f）
公法矢：cosbucosφ1＋sinbusinφ1=cosvcosφ2-sinvsinφ2 （g）
由式（g）有： v=-（φ2-φ1）-bu=-φ∗-bu （h）
式（h）是两齿廓上的点接触时应满足的条件，将式（h）代入式（e）、（f）后并对其施行坐标旋转后，可得：
（i）
（j）
给定φ1，由式（i）、（j）可求得φ∗和u，则φ2=φ∗＋φ1、v=-φ∗-bu。
将式（j）对φ1求导，并经化简得：
（k）
u̇的物理意义是变量参数u对转角φ1的变化率。
将式（h）对φ1求导可求变量参数v对转角φ2的变化率为：
（l）
由式（k）、（l）可见
、
均与传动比i21有关。为了求得i21，需要利用齿廓曲线C1、C2在接触时，齿廓间的相对滑动速度v12与接触点的公法矢正交这一特性，即应满足啮合方程
。因此可得：
式中 x10、y10、x20、y20为曲线C1、C2经坐标变换到固定坐标系后的x、y分量，见式（e）、（f）。将
点积
后，再以v=-φ∗-bu代入，经化简后得到i21：
（m）
因此求得ω2=i21ω1。
将式（m）对φ1求导得到传动比i21对转角φ1的变化率
。
（n）
由于i21=ω2/ω1，可有
，于是有
式中 
、i21分别由式（n）和式（m）确定，而ω1及ε1是原动件的给定运动参数。