学习单元二　正弦交流电路

正弦交流电路是含有正弦交流电源的线性电路。由于正弦交流电路是线性电路，所以线性电路的分析方法、定律、定理都适用于正弦交流电路。只是这些定律、定理应用于正弦交流电路时，是以相量模型的形式出现。

一、电阻、电感、电容单一的交流电路

1.电阻电路

（1）电阻元件上电流和电压之间关系　正弦电路中电阻元件上电压与电流的关系如图3-7所示。

①电阻元件上电流和电压之间的瞬时关系

②电阻元件上电流和电压之间的大小关系

③电阻元件上电流和电压之间的相位关系，如图3-8所示。

④电阻元件上电压与电流的相量关系

（2）电阻元件的功率　交流电路中，任一瞬间，元件上电压的瞬时值与电流的瞬时值的乘积叫做该元件的瞬时功率，用小写字母p表示，即

p=ui

工程上都是计算瞬时功率的平均值，即平均功率。瞬时功率在一个周期内的平均值叫做平均功率，用大写字母P表示。即

式中　U_R——电阻两端的电压有效值，V；

        I——流过电阻的电流有效值，A；

        R——电阻元件的阻值，Ω；

        P——电阻上的平均功率，W。

由于平均功率是电阻元件实际消耗的功率，所以又称为有功功率或电阻上消耗的功率。习惯上把“平均”“有功”或“消耗”两字省略，简称功率。

功率的单位为瓦（W），工程上也常用千瓦（kW）作为功率的单位。

1kW=1000W

2.电感电路

（1）电感元件上电压与电流间的关系　如图3-9所示。

设通过电感L的电流为

其相量为

则电感两端的电压为：

电压相量形式可表示为：

可以看出，电感元件上电压u_L与电流i之间有以下关系。

①数值关系　u、i的幅值关系为：

U_m=ωLI_m

u、i的有效值关系为：

U=ωLI=IX_L

式中，X_L称为感抗，Ω，且X_L=ωL=2πfL，即

U_L=IX_L

感抗X_L反映了电感线圈对电流的阻碍作用，它与电感线圈的电感量L及电源频率f成正比。对于频率f高的交流电，感抗X_L大，线圈对电流的阻碍作用大；对于频率f低的交流电，感抗X_L小，线圈对电流的阻碍作用小。特别是当电源频率f=0时（相当于直流电），X_L=ωL=2πf=0，线圈对直流电没有阻碍作用，相当于短路。

②频率关系　电压与电流同频率。

③相位关系　电压超前电流，即

（2）电感元件的功率

①瞬时功率p　设，则：

②平均功率P（有功功率）

电感元件的平均功率为零，说明在交流电的一个周期内电感元件吸收和释放的能量一样多，故称电感为储能元件，它本身不消耗能量，只是与电源之间不断地进行着能量的互换，这种能量互换的规模，用无功功率Q_L来衡量。

③无功功率Q_L　规定无功功率Q_L等于瞬时功率的p_L的幅值。即

单位为乏（var）或千乏（kvar）。

3.电容电路

（1）电容元件上电压与电流间的关系　如图3-10所示。

设加在电容两端的正弦交流电压为

其相量式为

则流过电容元件的电流为

式中，X_C称为容抗，Ω，且电容元件上电压u_C与电流i之间有以下关系。

①数值关系

U_C=IX_C

且

　　        （3-12）

式（3-12）表明，对一定容量的电容器，通入不同频率的交流电时，电容会表现出不同的容抗，频率越高，容抗越小。在极端情况下，若f→∞，则X_C→0，此时电容可视为短路；若f=0（直流），则X_C=∞，此时电容可视为开路。这说明电容元件的“隔直通交”作用。

②频率关系　电压与电流同频率。

③相位关系

电流超前于电压。

④相量关系

（2）电容元件的功率

①瞬时功率p　设，则

在交流电的一个周期内，电容器先后两次充电（储存电场能量），又两次放电（将电场能量还给电源），所以电容器在交流电路中不消耗能量，只是不断地储存与释放能量。

②平均功率P（有功功率）

电容元件的平均功率为零，说明在交流电的一个周期内，电容元件吸收和释放的能量一样多，故称电容为储能元件，它本身不消耗能量，只是与电源之间不断地进行着能量的互换，平均功率为零，表明电容器不是耗能元件，而是一个储能元件。

③无功功率　与电感相似，电容与电源功率交换的最大值也称为无功功率，用Q_C表示，有

Q_C的单位为乏（var）或千乏（kvar）。

二、电阻、电感、电容串联的电路

在分析实际电路时，一般将复杂电路抽象为由若干理想电路元件串、并联组成的典型电路模型进行简化处理。本节讨论的R、L、C串联电路就是一种典型电路，从中引出的一些概念与结论可用于各种复杂的交流电路，而单一参数电路、RL串联电路、RC串联电路则可看成是它的特例。

设有正弦电流i=I_msinωt通过R、L、C串联电路，根据上一节的分析，该电流在电阻、电感和电容上的电压降分别为

u_R=U_Rmsinωt

u_L=U_Lmsin（ωt+90°）

u_C=U_Cmsin（ωt-90°）

根据基尔霍夫电压定律，总电压为

u=u_R+u_L+u_C

上式称为欧姆定律的相量形式

Z=R+jX=R+j（X_L-X_C）

Z叫做复阻抗。Z反映了RLC串联电路对电流的阻碍作用，单位是欧姆。复阻抗是一个复数，实部为电阻R，虚部X=X_L-X_C，X称为电抗。复阻抗不是用来表示正弦量的复数，所以它不是相量，故复阻抗的表示符号与相量是有所区别的，它常用大写字母“Z”来表示（字母上面没有点）。

复阻抗Z的极坐标形式为

称为复阻抗的模，又称为阻抗。

例如，以电流i的向量作为参考向量，则。画出R、L、C电压向量图如图3-11所示，。

由图3-11得

　　        （3-13）

将U_R=RI，U_L=X_LI，U_C=X_CI代入式（3-13），得

由于以电流为参考相量，φ_i=0，所以u、i的相位差φ=φ_u-φ_i=φ_u，由电压三角形可知

电路的性质如下。

电感性电路：X_L>X_C，此时X>0，U_L>U_C，阻抗角φ>0。

电容性电路：X_L<X_C，此时X<0，U_L<U_C，阻抗角φ<0。

电阻性电路：X_L=X_C，此时X=0，U_L=U_C，阻抗角φ=0。

三、阻抗的串联与并联

1.复阻抗

把电路中所有元件对电流的阻碍作用用一复数形式体现，称之为复阻抗。复阻抗定义为

复阻抗的单位为欧姆（Ω）。

由于Z为复数，因此它可写成代数式和极坐标式，即Z=R+jX=∠φ。那么电阻R、电抗X、阻抗和阻抗角φ之间的关系为

2.阻抗串联电路的分析

图3-12（a）所示的多阻抗串联电路中，有

 

式中，Z为串联电路的等效复阻抗，原电路可等效为图3-12（b）所示的电路，则，其中，R=R₁+R₂+…+R_n为串联电路的等效电阻；X=X₁+X₂+…+X_n为串联电路的等效电抗；为串联电路的阻抗角。

3.阻抗并联电路的分析

用阻抗法分析并联电路，一般适应于两个支路并联的电路，而每个支路都可以用复阻抗表示。如图3-13所示的电路中，有

Z₁=R₁+jX₁

Z₂=R₂+jX₂

各支路电流为

其中，Z为并联电路的等效复阻抗，则有

对于有多个支路的并联电路，其等效复阻抗为

四、电路谐振

1.串联电路的谐振

（1）谐振的概念　在含有电阻、电感和电容的二端网络中，取端口电压与电流参考方向一致时，若端口电压与电流同相，则这种现象称为谐振。谐振时，电路中感抗作用与容抗作用相互抵消，电路呈纯电阻性。

谐振现象是正弦交流电路的一种特定工作状态，在电子技术中得到了广泛的应用，但有时谐振现象有可能破坏系统的正常工作，必须加以避免。

（2）串联谐振的条件　如图3-14所示的RLC串联电路中，有

Z=R+jX=R+j（X_L-X_C）

由谐振的概念可知，若使串联电路发生谐振，则Z=R，即X=0。

所以RLC串联电路谐振的条件为

　　        （3-14）

调整ω、L、C任意一个量，均可使电路发生谐振。当电感、电容固定不变时，可调整电源频率使电路达到谐振。

由式（3-14）可知，谐振时电源的频率一定为

　　        （3-15）

式（3-15）中，ω₀和f₀只和电路的固有参数L、C有关，因此它们又分别称为电路的固有角频率和固有频率。也就是说，只有当电源频率等于电路的固有频率时，才能发生谐振。

当电源频率一定，而L或C可调时，可通过调整L或C值使电路发生谐振：

这个过程称之为调谐。例如无线电收音机的接收回路，就是用改变电容C的办法，使之对某一电台发射的频率信号发生谐振，从而达到选择此电台的目的；而电视机通常是通过调整电感L来达到选台的目的。

（3）串联谐振的基本特征

①谐振时，阻抗最小，X=X_L-X_C=0，所以=R为最小值。此时复阻抗Z=R+jX=R，电路性质为纯电阻性，向量图如图3-16所示

②当回路端电压保持不变时，电流最大，且与外加电压同相。由于谐振时

此时最小，故I最大。

③谐振时，感抗与容抗相等，且等于电路的特性阻抗。由谐振条件可知

ρ是一个仅与电路固有参数有关的量，称为电路的特性阻抗，单位为欧姆（Ω）。

④谐振时，电感和电容上要产生大小相等、相位相反的过电压，且该电压的大小是电源电压的Q倍。此时电阻两端的电压等于电源电压。

⑤谐振时，电源仅供给电阻消耗的能量，电源与电路不发生能量交换；而电感与电容之间，则以恒定的总能量进行着磁能与电能的转换。

2.并联电路的谐振

谐振也可以发生在并联电路中，下面以图3-17所示的电感线圈与电容器并联的电路为例来讨论并联谐振。

在图3-17所示电路中，当电路参数选取适当时，可使总电流I与外加电压U同相位，这时称电路发生了并联谐振。此时R、L支路中的电流

总电流

若总电流与外加电压 同相位，则上式虚部应为零，即

一般情况下，线圈的电阻R很小，故

这说明并联谐振的条件与串联谐振的条件基本相同。并联谐振相量图如图3-18所示。并联谐振有以下特征。

①电流与电压同相位，电路呈电阻性。

②电路的阻抗最大，电流最小。

谐振时的电流

式中

因电阻R很小，故并联谐振呈高阻抗特性。若R→0，则Z→∞，即电路不允许频率为f₀的电流通过。因而并联谐振电路也有选频特性，但要求流过并联谐振电路的信号源为恒流源，以便从高阻抗上取出高的输出电压。当一个含有多个不同频率信号的信号源与并联电路连接时，并联电路如对其中某一个频率的信号发生谐振，对其呈现出最大的阻抗，就可以在信号源两端得到最高的电压，而对其他频率的信号则呈现小阻抗，电压很低，从而将所需频率的信号放大取出，将其他频率的信号抑制掉，达到选频的目的。

③电感电流与电容电流近乎大小相等，相位相反。

④电感或电容支路的电流有可能大大超过总电流。并联谐振的品质因数为电感或电容支路的电流与总电流之比，即：

即I₁=I_C=QI。因为这两支路的电流是电源供给电流的Q倍，所以当电路的品质因数Q较大时，必然出现电感或电容支路的电流大大超过总电流的情况。同串联谐振一样，并联谐振在电子线路设计中是十分有用的，但在电力系统中应避免出现并联谐振，以防因此带来的电力系统过电流。

五、功率因数的提高

1.使电源设备得到充分利用

电源设备的额定容量S_N是指设备可能发出的最大功率。实际运行中设备发出的功率P还要取决于cosφ，功率因数越高，发出的功率越接近于额定功率，电源设备的能力就越能得到充分发挥。

2.降低线路损耗和线路压降

输电线上的损耗为P₁=I²R₁，其中R₁为线路电阻，线路压降为U₁=IR₁，而线路电流，由此可见，当电源电压U及输出有功功率P一定时，提高功率因数可以使线路电流减小，从而降低传输线上的损耗，提高供电质量。提高功率因数，还可在相同线路损耗的情况下节约用铜，因为功率因数提高，电流减小，在P₁一定时，线路电阻可以增大，故传输导线可以做细一些，这样就节约了铜材。

3.提高功率因数的方法

实际负载大多数是感性的，如工业中大量使用的感应电动机、照明日光灯等，这些感性负载的功率因数大都较低，为了提高电网的经济运行水平，充分发挥设备的潜力，减少线路功率损失和提高供电质量，有必要采取措施提高电路的功率因数。并联电容是提高功率因数的主要方法之一。一般将功率因数提高到0.9～0.95即可，负载可按此要求来计算所并联电容器的容量。

对感性负载提高功率因数的电路如图3-19（a）所示。

由图3-19（b）还可以看出，并联电容后，电容电流补偿了一部分感性负载电流的无功分量I_Lsinφ₁，因而减小了线路中电流的无功分量。显然，并入电容支路的电流有效值为I_C=I_Lsinφ₁-Isinφ，因为，所以，要使电路的功率因数由原来的cosφ₂提高到cosφ，需要并联的电容器的电容量为。

感性负载并联电容后，实质上是用电容消耗的无功功率补偿了一部分感性负载消耗的无功功率，它们进行了一部分能量交换，减少了电源供给的无功功率，从而提高了整个电路的功率因数。因此，并联电容的无功功率为

-Q_C=Q_L-Q=P（tanφ₁-tanφ）　　        （3-16）

其中，P为感性负载的有功功率。

式（3-16）就是提高功率因数所需电容的计算公式。应当注意，在外施电压U不变的情况下，感性负载并联电容后消耗的有功功率P没有发生变化，这是因为有功功率P只由电阻消耗产生，并联电容后电阻上的电压、电流有效值没有改变，因而有功功率P没有发生变化。提高功率因数在电力系统中很重要，在实际生产中，并不要求功率因数提高到1，这是因为此时要求并联的电容太大，需要增加设备的投资，从经济效益来看反而不经济了。因此，功率因数达到多大为宜，要比较具体的经济技术等指标后才能确定。

实验八　单相交流电路的认识及测量

实验目的

①学会使用交流电压表（万用表）测电压。

②加深对RL串联电路的理解。

实验原理

RL串联电路的特点

实验设备（表3-1）

实验电路图（图3-20）

实验内容及步骤

①按图3-20连接电路。

②按表3-2测量各电压并记录。

实验数据分析及结论

①感抗与频率之间有什么关系？

②总电压与各元件电压之间有什么关系？