第三节　极限的运算

一、极限的运算法则

用极限的定义并结合图形求函数的极限只适用于一些简单的情形，运用极限的运算法则可以求出某些复杂的函数极限问题.以后还将介绍求极限的其他方法.

定理1　设limf（x）=A，limg（x）=B，则

（1）lim［f（x）±g（x）］=limf（x）±limg（x）=A±B

（2）lim［f（x）·g（x）］=limf（x）limg（x）=A·B

（3）lim［Cf（x）］=Climf（x）=CA

（4）

【例1】 求.

解：由定理1（1）

【例2】　求.

解：由定理1（4）

以上两例是极限计算中最简单的，一般称为“代入法”.

【例3】　求.

解：求极限前一般先观察，然后再动手计算，此题的分子、分母都是无穷小量，所以不能直接利用极限运算法则.

因为x→1，而x≠1，因而可消去非零公共因子（x-1）

这种消去“零因子”的方法，在计算极限时经常用到.

【例4】　求.

解：通过观察，可知这是“”型，设法消去“零因子”——（x+3）

【例5】　求.

解：这是“”型，将分子有理化

对于在求极限时遇到含有根号的形式，常常采用“有理化”法进行计算.

【例6】　求.

解：这是“”型，分子、分母均为无穷大量时，记作“”，这类题不能直接利用极限运算法则.

分子、分母同除以x3

则

【例7】　求.

解：这是“”，用x3除分母和分子

对于“”型的极限，如果分子、分母均为x的多项式，则可用它们中的x最高次幂同除分子与分母，我们把这种方法称为“抓大头法”.

以上两例的方法可推广到一般情形，结论可直接应用.

【例8】　求

解：这是“∞-∞”型，不能直接用极限运算法则，一般处理的方法是通分.

【例9】　求.

解：这是“∞-∞”型，分子、分母同乘以（）

二、两个重要极限

1.重要极限1：

函数的定义域为x≠0全体实数，当x→0时，列出数值表，观察其变化趋势：

由表可见，当时.根据极限的定义有

这个重要极限主要应用于极限是“”型并且带有三角函数的类型的计算.

【例10】　求.

解：

【例11】　求.

解：令u=3x，，则当x→0时，u→0

计算时也可省略u，按下面的格式计算：

这个例子说明的实质就是.使用时要注意（　）内的一致性并且趋于0.

【例12】　求.

解：

【例13】　求.

解：

注意：当x不趋于0时，不能直接应用重要极限1.

2.数列收敛准则

定理2　单调有界数列必有极限.

事实上，单调数列在数轴上的对应点只向一个方向移动，这样单调数列的对应点的移动只有两种可能：一种是沿数轴趋向无穷远；另一种是与某点无限接近.有界数列不可能发生前一种情形，所以，单调有界数列只能与一个数无限接近，即数列有极限，这里的单调和有界二者缺一不可.

下面介绍另一个重要极限，作为定理2的应用.

3.重要极限2：

可以证明，当n→∞时，是单调有界数列，并且趋向于e.

即

对于有同样的结论.

即

这是第二个重要的极限，为了正确使用重要极限2的形式，应注意：第一，括号内的变量是趋向于1的，指数趋向于∞，记作“1∞”型，以后遇到“1∞”型极限可考虑使用它；第二，要注意它的形式.

使用时要注意，中（　）内的一致性，并且这个变量要趋向于无穷大.

用自然语言描述：就是一加无穷小量的无穷大次幂.

【例14】　求.

解：令，则x=3u.当x→∞时，u→∞

所以

【例15】　求.

解：

【例16】　求.

解：令，则，当x→0时，u→∞

【例17】　求.

解：令

解得　x=u+3，当x→∞时，u→∞

三、无穷小量的比较

无穷小量都是以零为极限的量，它们都趋向于零，但是趋于零的快慢程度有所不同，下表列出了函数与，当x→+∞过程中的变化情况.

显然与均趋向于0，但趋向于0要比趋向于0快得多，所谓无穷小量的比较就是指这种趋向于0的“快”与“慢”的比较.

定义1　设limα（x）=0，limβ（x）=0.

（1）如果，则称α（x）是β（x）的高阶无穷小量.

（2）如果，则称α（x）是β（x）的同阶无穷小量.

（3）如果，则称α（x）与β（x）是等价小量，记作α（x）～β（x）.

例如，当x→0时，1-cosx与x均为无穷小量，，则称当x→0时，1-cosx是x的高阶无穷小量；又如当x→0时，sin2x与x均为无穷小量，，则称当x→0时，sin2x与x是同阶无穷小量；当x→0时，sinx与x均为无穷小量，，则称当x→0时，sinx与x是等价无穷小量.记为sinx～x（x→0）.

【例18】　证明当x→0时，ln（1+x）～x.

证明　因为

所以

定理3　设在x的某种变化趋向下，α（x）～α'（x）， β（x）～β'（x），如果存在，则也存在，且.

证明　

定理3指出了求两个无穷小量之比的极限时，分子或分母的乘积因子可用等价无穷小量代换，这种代换常使极限计算简化，比值的极限为∞时，定理仍然成立.

【例19】　求.

解：因为当x→0时，根据定理得

【例20】　求.

解：

今后常用的等价无穷小量，具体如下：

习题1.3

1.求下列各题的极限.

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

（7）

（8）

（9）

（10）

（11）

2.计算下列极限.

（1）

（2）

（3）

（4）

3.计算下列极限.

（1）

（2）

（3）

（4）

4.指出下列各题中的无穷小量是同阶无穷小量、等阶无穷小量还是高阶无穷小量.

（1）当x→0时，与2x

（2）当x→∞时，

（3）当x→1时，

（4）当x→0时，ex-1与x

5.利用等阶无穷小量代换性质，计算下列极限.

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）